Наприклад: інерційна нелінійна ланка

Структурну схему такої ланки можна представити у вигляді

Рис.1.39 Приклад нелінійного елементу

В результаті декомпозиції нелінійної ланки її можна представити у вигляді лінійної частини та нелінійної частини, яка і визначає вигляд нелінійності системи, ланки. При цьому математична модель ланки буде записана у вигляді

,

де друге рівняння визначає саму нелінійність ланки.

Нелінійності, як правило, можуть бути виражені своїми статичними характеристиками, які можуть бути суттєвими та несуттєвими.

Несуттєві нелінійні характеристики - це характеристики, які допускають неперервне диференціювання та можуть бути розкладені поблизу робочої точки у ряд Тейлора із урахуванням величини сигналів, які діють на вході нелінійності.

Суттєві - нелінійні характеристики, які не допускають такого розкладення, тому що вони не можуть бути апроксимовані однім рівнянням прямої лінії, а у точках переходу з одної ділянки апроксимації до другої обов'язково спостерігається розрив похідної.

Таким чином нелінійну систему можна визначити як таку систему, у структурі якої є хоч би один елемент з нелінійною статичною характеристикою.

За характером зміни оператора нелінійної системи у часі нелінійні системи також як лінійні поділяються на стаціонарні та нестаціонарні.

За характером нелінійної статичної характеристики нелінійні системи поділяються на системи з несуттєвими та суттєвими нелінійностями.

Якщо похідна нелінійної статичної характеристики має розриви у деяких точках, то така характеристика вважається суттєво-нелінійною, а сама система – суттєво-нелінійною системою (Рис.1.40) .

.

Рис. 1.40 Характеристика типових нелінійностей

Нелінійності із статичними характеристиками можуть бути неперервними та релейними (Рис1.41);

Рис.1.41 Нелінійності із статичними характеристиками

однозначними та не однозначними (Рис. 1.42 );

Рис. 1.42 Приклади однозначних та неоднозначних характеристик

не парно-симетричними та парно-симетричними (Рис.1.43 ); несиметричними (Рис.1.44 ).

Рис. 1.43 Не перно-симетрична та парно- симетрична Рис. 1.44 Несиметрична

характеристики характеристика

Приклад типової нелінійної замкненої слідкуючої системи керування кутом повороту вихідного валу представлено на Рис.1.45. В цьому випадку місцевий зворотний звя’зок по швидкості обертання валу ДПС виконує роль коректуючого пристрою.

Рис.1.45 Типова нелінійна система керування швидкістю обертання валу навантаження з ДПС

Характерні не лінійності в механічних пристроях. Прагнення "вижати" із системи найкращі можливі характеристики приводить до того, що проектувальник зіштовхується із ефектами, які пов'язані із властивими механічним системам нелінійностями, такими як "люфт”, “тертя”, “насичення”, “зона нечутливості" тощо. Наявність тертя у механічних ланках САУ оказує суттєвий вплив на її динаміку. У високоякісних електромеханічних та електрогідравлічних системах тертя у виконавчому механізмі часто є тим елементом, нелінійність якого приходиться враховувати поперед усього в розрахунках.

У теорії управління прийнято розрізняти наступні складові моменту тертя :

1. Момент тертя, який лінійно залежить від швидкості (Рис. 1.46 ). Таке тертя прийнято називати лінійним або в'язким

Рис. 1.46 Момент тертя Рис.1.47 Сухе тертя Рис. 1.48 Квадратична залежність

2. Нелінійна складова моменту тертя або сухе, кулонівське тертя (Рис.1.47 ).

3. При великих швидкостях взаємного переміщення частин механізмів, які мають тертя, інколи враховується квадратична залежність моменту тертя від відносної швидкості переміщень (Рис.1.48) .

Таким чином, типову залежність моменту тертя від можна описати наступним рівнянням .

Зовнішнім тертям називається опір, який створюється між двома стичними під дією стискаючих навантажень точками у площині торкання.

Сила опору, яка направлена у бік, протилежний зсуваючому зусиллю, називається силою тертя.

По величині переміщення у залежності від його зсуваючого зусилля поділяють силу тертя руху, неповну силу тертя спокою та повну силу тертя спокою.

У електромеханічних приводах момент тертя спокою визначається напругою зрушення двигуна.

Другою важливою нелінійністю у електромеханічних приводах САУ є люфт (Рис.1.49). Існують різноманітні математичні моделі люфту, найбільш поширеною з яких дає геометричну інтерпретацію у вигляді

де - значення вихідного сигналу у останній момент часу, для котрого стало менше .

Рис.1.49 Характеристика люфта

Особливістю характеристики люфту є петля гістерезису типу, яка має ширину та довжину, яка змінюється у залежності від амплітуди вхідного сигналу.

Очевидно, що люфт тим більше важливий, чим менше переміщення x.

Необхідно також ураховувати, що у час вибирання люфту ( ) ведений елемент механічної передачі відключається від ведучого і, отже, зменшується статичне та динамічне навантаження на ведучий елемент. У час вибирання люфту сигнал жорсткого зворотного зв'язку залишається постійним, тобто на цей час система нібито стає розімкнутою

Рис. 1.50 Люфт у механічних системах передачі ( редуктор )