3.2.9 Цифровий під-регулятор.

При синтезі неперервних систем керування найбільш поширене застосування мають ПІД регулятори, які застосовують за паралельною схемою пропорційні, інтегральні та диференційні закони керування (Рис.3.36)

Рис. 3.36

Якщо у дискретному варіанті операцію інтегрування виконати по методу трапецій, то

(3.39)

а цифрове диференціювання приймає вигляд (3.40)

Отже,

Рис. 3.37

Розглянемо застосування цифрового ПІД-регулятора на прикладі, коли неперервну частину системи задано у вигляді

,

а період квантування дорівнює 0.1 с.

Отже,

Передаточна функція замкненої системи

Корені характеристичного рівняння показують, що система є стійкою, але має сталу похибку, тому що передаточна функція розімкненої системи не має хоча б одного полюсу

Отже,

Відповідний перехідний процес позначено на графіку (Рис.3.38) цифрою 1.

Рис. 3.38

Для того, щоб забезпечити системі астатичні властивості, треба застосувати додаткову інтегральну складову у законі керування. При цьому передаточна функція розімкненої системи набуває вигляду

Якщо вибрати та таким чином, щоб компенсувати один із найбільших полюсів передаточної функції , то .

При визначається , передаточна функція розімкненої системи буде

Тому що з`являється полюс похибка у системі буде дорівнювати нулю, але при цьому збільшується коливальність перехідного процесу (крива 2).

Тому застосуємо додатково ще і диференційну складову, тобто використати ПІД-регулятор

Тоді передаточна функція розімкненої системи приймає вигляд

Якщо використати , та таким чином, щоб компенсувати два полюси управляємого процесу, тобто, щоб виконувалося співвідношення

,

то передаточна функція розімкненої системи буде

,

а відповідна їй передаточна функція замкненої системи

При цьому , що показує на значне поліпшення перехідного процесу, при якому значно зменшується значення перерегулювання та скорочується час перехідного процесу (крива 3).

Ідеалізоване рівняння ПІД-регулятора має вигляд

При малих це рівняння можна перетворити на дискретне за допомогою операції дискретизації, яка складається у заміні похідної різницею першого порядку, а інтегрування-сумою (метод прямокутників ).

Отже, у дискретному вигляді рівняння приймає вигляд

(3.41)

При цьому алгоритмі обчислення потрібно запам`ятовувати всі значення . Тому що кожний раз значення обчислюється заново, то цей алгоритм називається "позиційним".

Якщо визначити

,

то

,

де

Цей алгоритм називається "швидкісним", тому що обчислюється тільки прирощення управляємого сигналу

Якщо використовується метод трапецій, то

де

Рис. 3.39 П-регулятор

Рис.3.40 ПІ-регулятор

Рис.3.41 ПІД-регулятор

Рис.3.42 Цифровий ПІД-регулятор