2.7.21 Визначення стійкості по векторно-матричним моделям.

Хай процеси у системі описуються рівняннями у змінних стану

Для того, щоб система була стійкою необхідно, щоб власні числа матриці мали від`ємні дійсні частини, тому що корені характеристичного рівняння

є власними числами матриці . Сукупність всіх власних чисел утворює спектр матриці , а сума всіх елементів, які стоять на головній діагоналі, визначає слід матриці.

Розкриваючи визначник , добудемо характеристичне рівняння:

де – сума всіх діагональних мінорів першого порядку, яка дорівнює сліду .

– сума всіх діагональних мінорів другого порядку.

– визначник матриці .

Хай на площині комплексної змінної задана деяка область , яка відповідає різноманітним випадкам розміщення спектру .

Рис. 2.209 Області стійкості неперервної та дискретної системи

Припустимо, що є комплексна площина змінної та на ній задано коло радіусом з центром у початку координат, а також є сукупність всіх матриць порядку , спектр яких знаходиться в середині кола радіусом , та існує оператор , який перетворює у , тобто та . Якщо , то . Тому, якщо

(2.289)

то , і виконуються умови стійкості системи.

У теорії аналітичних функцій відомо дробово-лінійне перетворення , яке перетворює ліву площину комплексної змінної у внутрішню область одиничного кола з центром у початку координат площини , при цьому уявна, як коло, нескінченно великого радіусу переходить у одиничне коло.

(2.290)

Якщо всі матриці від`ємні, то матриці по модулю менші .

Для того, щоб система була асимптотично стійка, необхідно та достатньо, щоб для матриці виконувалась умова

(2.291)

Очевидно, що критерій справедливий, якщо .

Чи виконується умова (2.291), можна перевірити по факту абсолютного зменшення елементів . Факт зменшення може бути встановлений за матричними нормами та слідами. Для того, щоб система була стійкою та при , достатньо, щоб будь-яка із норм матриці була менша за одиницю

Якщо ж норма матриці буде більша за одиницю, то з цього факту не випливає, що система не стійка. При цьому необхідно перевірити виконання умови

(2.292)

для послідовності . Якщо при деякому будь-яка з норм стає меншою за одиницю, то умови стійкості починають виконуватись, тобто система вважається стійкою.

Хай

Тоді

Система стійка.

Для рiшення питання про стiйкiсть властивого руху достатньо розглянути вiльну цифрову систему автоматичного керування, яка описується векторно-матричним рiвнянням

де - матриця коефiцiєнтiв замкненої системи.