2.8.1 Лінійні перетворення випадкових сигналів.

Хай здобуто перетворенням стаціонарного випадкового процесу оператором .

Загальна постановка задачі перетворення випадкового процесу лінійними операторами формулюється відносно законів розподілу імовірностей таким чином:

Задано закон розподілу імовірностей випадкового процесу , який поступає на вхід відомого оператора .

Необхідно визначити закон сумісного розподілу імовірностей випадкових процесів , .

Однак у практиці ТАУ задача у такій постановці зустрічається рідко із-за двоякості її розв’язку або прикладної доцільності. Для задоволення багатьох цілей теорії та практики автоматичного управління, постановку задачі управління випадковими процесами достатньо розглядати відносно математичних очікувань, кореляційних функцій або спектральних цільностей.

У такої постановки вона формулюється таким чином:

Задано лінійний оператор (комплексний коефіцієнт передачі або імпульсна передаточна функція , та характеристики , , випадкового стаціонарного процесу , який поступає на вхід оператора . Необхідно визначити характеристики , , вихідного процесу , а також характеристики , , , взаємозв`язку процесів та .

Хай процес можна визначити , де - відхилення процесу . Тоді процес з урахуванням лінійності

.

Якщо обробити ліву та праву частини цього рівняння оператором математичного очікування, то з урахуванням лінійності та здобудемо , тому що . (2.295)

Таким чином, математичне очікування вихідного процесу дорівнює результату обробки оператором . Цей результат справедливий і для нестаціонарного процесу .

Якщо розглядати відхилення процесу як , то

Тобто кореляційна функція вихідного процесу дорівнює кореляційній функції , яка обробляється послідовно операторами та .

Розглянемо лінійну стаціонарну систему з комплексною передаточною функцією або імпульсною перехідною функцією .

Рис. 2.210 До перетворення випадкового процесу лінійним оператором

Вихідний сигнал є випадковим сигналом з відомими характеристиками та , а треба визначити статистичні характеристики вихідного сигналу.

Відомо, що , а функція часу може бути визначена через та імпульсну перехідну функцію . Запишемо значення функції для перерізів та із відповідними аргументами та

Знайдемо взаємозв`язок цих значень випадкового процесу , для чого визначимо математичне очікування як

де .

Тому що то

Якщо помножити на , та взяти інтеграл у межах від до , то здобудемо спектральну щільність сигналу на вході. Щоб це можна було зробити, треба у вираз додати множники та , тобто

Кореляційна функція вихідного сигналу визначається як

Також справедливі співвідношення

(2.296)

Хай випадковий сигнал з , тобто білий шум, проходити через фільтр низьких частот з полосою проходження .

Тоді

Рис. 2.211 Фільтр низьких частот з полосою проходження .

2.8.2 Поняття про формуючий фільтр.

Вираз , який визначає зв'язок мiж спектральними щільностями сигналiв на входi та на виходi стацiонарної стiйкої лiнiйної системи у сталих режимах, дозволяє знайти частотну характеристику такої ланки, яка формує випадковий процес iз заданою спектральною щільнiстю з одиничного бiлого шуму , де - спектральна потужність білого шуму.

Хай спектральна щільність є дрiбно-рацiональною функцiєю, тобто . У силу того, що спектральна щільність є дiйсною та парною функцiєю, полiноми та мають парну степiнь та , тобто утримують тiльки парнi степенi . Тому їх коренями будуть комплексно-сполученi числа

та

Будемо вважати, що всi полiноми та не мають коренiв, якi розташованi на дiйсної осi. Таким чином має коренiв, якi розташованi у верхнiй півплощині площини , та коренiв - у нижнiй. Відповідно полiном має коренiв у верхнiй та коренiв у нижнiй півплощинах (Рис.2.212).

Рис. 2.212 Розподіл коренів у верхнiй та нижнiй півплощинах

Коренi також розташованi симетрично вiдносно мінливої та дiйсної осей площини . При виконаннi цих умов кожний iз полiномiв та можна представити як добуток двох других полiномiв, коренi одного з яких розташованi у верхнiй півплощині, а другого - у нижнiй півплощин

,

де та - коефiцiєнти при старших степенях змiнної  у полiномах та . Якщо кожний з полiномiв помножити на множники та , то здобудемо

Отже, можна записати

де

,

а всi коренi полiномiв та розташованi у лiвiй півплощині .

Рис. 2.213 Розподіл коренів у лівої та правої півплощинах

Отже, можна визначити як

Таким чином, ланка яка формує випадковий процес iз заданою спектральною щільнiстю iз бiлого шуму визначається спiввiдношенням

(2.297)

Така ланка зветься формуючим фiльтром.

При цьому усi нулi та полюси передаточної функцiї формуючого фiльтру розташованi у лiвiй півплощині комплексної площини , тобто цей фiльтр при є фiзично реалiзуємим.

П 2.86

Знайти формуючий фiльтр для випадкових процесiв, якi мають спектральну щільність

1) 2)

1. Визначимо як

Отже, передаточна функцiя формуючого фiльтру буде

2. Для другого випадку

,

П 2.87

Визначити випадковий сигнал із заданими статистичними характеристиками

Формується “ білий шум “ та визначаються його статистичні характеристики

2. Визначається структура формуючого фільтру та статистичні характеристики вихідного сигналу

П 2.88

Визначити статистичні характеристики випадкового сигналу на виході формуючої ланки

1. Формується білий шум

Кореляційна функція

2. Модуль АЧХ замкнутої системи

4. Сигнал на виході

5. Кореляційні функції сигналів на вході та виході

6. Густина спектру вхідного та вихідного сигналів

7. Кореляційні функції, розраховані теоретично та експерементально

Кореляційні функції добре співпадають