2.8.4 Статистична лінеаризація нелiнiйної ланки

Метод статистичної лінеаризації засновано на замiнi нелiнiйних перетворень випадкових процесiв статистично еквiвалентними їм лiнiйними перетвореннями. При цьому нелiнiйна ланка, на вхід якої дiє процес , замiнюється лiнiйним еквiвалентом.

Цей метод засновано на двох критерiях статистичної еквiвалентностi.

Перший з них потребує рiвностi математичних очікувань та дисперсiй сигналiв на виходi нелiнiйної та лiнiйної ланок (Рис.2.216).

Рис. 2.216 До задачі статистичної лінеаризації

Другий критерiй потребує мiнiмiзацiї середнього квадрату рiзницi процесiв на виходах цих ланок.

Хай процеси на входi та виходi нелiнiйної ланки мають вигляд

Виконаємо статистичну лінеаризацію нелiнiйної ланки з урахуванням вiдповiдних критерiїв

де - коефiцiєнт передачі по математичному очікуванню;

- коефiцiєнт передачі по центрованої складової.

З умови першого критерiю повинні виконуватися спiввiдношення

(2.298)

Значенню та , при яких задовольняється перший критерiй еквiвалентностi для однозначних нелiнiйностей визначаються за формулами

Із другого критерію еквiвалентностi маємо

(2.299)

або

За умови та

Знаходимо

Якщо закон розподiлу сигналу на входi нормальний

то та залежать тiльки вiд двох параметрiв - математичного очікування та дисперсiї , тобто

Рис. 2.217 Статистична лінеаризація нелінійності

Розглянемо нелiнiйну систему (Рис.2.218) на вхiд якої поступає детермiнований корисний сигнал та центрована стацiонарна завада , статичнi характеристики якої вiдомi ( ).

Рис. 2.218 Структурна схема нелінійної системи

Пiсля виконання статистичної лінеаризації нелiнiйностi структурна схема приймає вигляд (Рис.2.219)

Рис. 2.219 Еквівалентна схема системи з статистичною лінеаризацією

По першому каналу проходить повiльна складова , а по другому - швидка випадкова складова . Будемо вважати, що до лiнiйної частини виконується гiпотеза фiльтру: на виходi лiнiйної частини сигнал має нормальний закон розподiлу незалежно вiд закону розподiлу сигналу на входi. Тодi сигнал представляє собою рiзницю сигналiв, якi задовольняють нормальному закону, і, отже, також має нормальний закон розподiлу.

Визначимо стале значення сигналу похибки при по першому каналу

Для другого каналу дисперсiя сигналу х визначається по спектральнiй щільності

Таким чином, здобуваємо два рівняння ,

Тому що в цих рівняннях є чотири невiдомих величини то необхiднi два рiвняння здобуваються iз умови проходження сигналу х повз нелiнiйну ланку

Отже, розв`язуючи цю систему рiвнянь, здобуваємо значення та , якi вiдображають імовірнісні характеристики разузгодження у слiдкуючої системi. Тому що завада не перекручує сталої складової, то знайдена величина вiдображає сталу похибку системи при дiї завади . Випадкова складова похибки визначається по спектральної щільності складової сигналу на виходi, яка обумовлена завадою де . Тодi що дозволяє знайти загальну середньоквадратичну похибку системи .

Так для випадку ,

маємо

Рис.2.220 Моделювання нелінійної системи із статистичною лінеаризацією

Рис. 2.221 Процеси в задачі моделювання статистичної лінеаризації