Підр ТАК нов

2.6.10 Критерій Михайлова.

Розглянемо характеристичний поліном замкненої системи

де – корені характеристичного рівняння . Якщо всі корені характеристичного рівняння розташовані у лівій півплощині, то характеристичний вектор при зміні від до буде обертатися на кут ні де не перетвориться у нуль для стійкої системи.

Можна показати, що приріст аргументу буде здійснюватись монотонно.

Дійсно, якщо , то , а похідна по

завжди більше нуля. Отже, функція змінюється монотонно.

Тому система автоматичного керування буде стійкою, якщо годограф Михайлова, при зміні від до , послідовно пройде квадратів проти годинникової стрілки, починаючи від додатної дійсної осі, ніде не перетворюючись у нуль.

Рис.2.125 Годографи Михайлова для стійких систем

На Рис. 2.126 показані годографи характеристичних рівнянь для випадків нестійких систем керування.

Рис. 2.126 Годографи Михайлова для нестійких систем

Для стійкої системи можна визначити, що годограф послідовно перетинає дійсну та уявну осі. Тому значення , при яких перетинається відповідна вісь є коренями рівнянь

, (2.196)

де та визначаються із

Функції та можна зобразити графічно (Рис.2.127). Точки перетину кривих з віссю абсцис дають значення коренів цих рівнянь. Отже, для стійкої системи необхідною умовою є дійсність та послідовність чергування коренів рівнянь (2.191)

Рис.2.127 Послідовність чергування коренів для стійкої системи

Треба визначити, що при підвищенні коефіцієнту підсилювання системи , коли постійні часу є сталими, годограф , тобто годограф Михайлова буде зміщуватись вправо без зміни своєї форми. При деякому значенні годограф пройде через початок координат, що свідчить про вихід системи на межу стійкості. Отже, якщо є графік годографу Михайлова, то можна визначити критичні коефіцієнт передачі досліджуваної системи.

Рис.2.128 Визначення по годографу Михайлова

Для стiйкості дискретної системи автоматичного управлiння необхiдно i достатньо, щоб годограф Михайлова переходив у даному напрямку квадрантів при змiнi частоти вiд до пiде не перетворюючись у нуль, починаючись та закiнчуючись на дiйснiй пiвосi.

Критерiї Михайлова може бути сформульовано на основi правила чергування коренiв дiйсної та уявної частин характеристичного полiному :

для стiйкості дискретної САУ необхiдно та достатньо, щоб дiйсна та уявна частини годографу Михайлова мали дiйсних переміжних коренiв (Рис.2.129).

Рис.2.129 Приклади годографів Михайлова для стійких дискретних систем

2.6.11 Критерій Найквіста.

Розглянемо характеристичне рівняння замкненої системи

Виконаємо перехід до частотних характеристик за допомогою перетворення

, (2.197)

та проаналізуємо приріст аргументу при зміні частоти від до у випадках коли корені характеристичного рівняння замкненої системи ,

так i характеристичного рiвняння розiмкненої системи лежать у лiвiй пiвплощині, тобто якщо i замкнена, i розiмкнена системи стiйкi.

, (2.198)

Якщо замкнена система має l правих коренiв, то

(2.199)

що свiдчить про нестiйкiсть замкненої системи.

Рис.2.130 Принціп побудови годогріфу Найквіста

Таким чином, якщо побудувати годограф , змiнюючи частоту від до , то для стiйкостi системи вiн не повинен охоплювати точку початку координат.

Якщо ж перенести початок координат вправо на одиницю, то замiсть вектору можна дослiджувати поведiнку вектора , що спрощує його побудову. Але в цьому випадку стiйкостi замкненої системи потрiбно щоб вже годограф не охоплював точку .

Отже, система автоматичного управлiння, стiйка у розiмкненому станi, буде стiйкою у замкненому станi, якщо амплітудо-фазо-частотна характеристика розiмкненої системи (годограф Найквiсту при зміні частоти вiд до не охоплює точку ).

Якщо розiмкнена система має коренiв, якi лежать у правiй пiвплощинi, тобто є нестiйкою, то прирiст аргументу при умовi стiйкостi замкненої системи буде

Якщо система автоматичного управлiння нестiйка у розiмкненому станi i має коренiв у правiй пiвплощинi, то вона буде стiйкою у замкненому станi, якщо амплiтудно-фазо-частотна характеристика розiмкненої системи (годограф Найквiсту) при змiнi частоти вiд до буде охоплювати точку разiв у додатному напрямку.

Рис. 2.131 Годографи Найквіста для стійкої та нестійкої систем, які мають коренiв у правiй пiвплощинi

Якщо передаточна функцiя розiмкненої системи має у знаменнику загальний множник у деякому степенi

(2.200)

то при переходi до частотних характеристик їх початок при буде лежати на нескiнченностi, що вносить непорозуміння у питання, чи охоплює АФЧХ критичну точку , чи нi. До того ж , вектор при змiнi частоти вiд до змiнює при переходi через початок координат фазовий кут з до , але у якому напрямку вiдбувається цей зворот у момент переходу початку координат визначити неможливо.

Тому, якщо покласти тобто обходячи початок координат вздовж правого кола з нескiнченно малим радiусом, то всi нульовi коренi будуть вважатися лiвими, а АФЧХ розiмкненої системи може бути зображена вектором нескiнченної довжини, який обертається на комплекснiй площинi за годинниковою стрiлкою на кут (вiд до ).

Рис. 2.132 Порядок обходження критичних точок при зміні частоти

При змiнi частоти вiд до , тобто при та , АФЧХ буде змiнюватися вздовж дуги нескiнченно великого радiусу, описуючи кут вiд до .

Рис. 2.133 Годографи Найквіста для статичної ( ) та астатичних ( )систем

Отже, для визначення стiйкостi системи з астатизмом -го порядку достатньо побудувати одну гiлку амплiтудно-фазо-частотної характеристики розімкненої системи, яка вiдповiдає додатнім частотам вiд , доповнити її дугою – кола нескiнченно великого радiусу та застосувати критерiй стiйкостi Найквiсту.

Розглянемо умови стійкості дискретної системи. Характеристичний вектор замкнутої системи представимо у вигляді

Якщо розiмкнена система стiйка, тобто |, та стiйка замкнена система , то згiдно принципу аргументу

(2.201)

для того, щоб замкнена цифрова дискретна система, яка має у розiмкненому станi полюсiв , була стiйкою, необхiдно i достатньо, щоб годограф не охоплював точку при змiнi частоти у дiапазонi вiд до (Рис.2.134).

Рис.2.134 статичної системи Рис.2.135 астатичної системи

Якщо ж розiмкнена система нестiйка i має правих коренiв , а замкнена система стійка , то

(2.202)

Отже, характеристичний вектор починається та закiнчується на додатнiй осi та перемiщується проти часової стрiлки, тобто у додатному напрямку. Якщо перенести початок координат у точку , то здобудемо аналог критерiю Найквiста для дискретних систем.

Для того, щоб замкнута дискретна система, яка у розiмкненому станi має полюсiв у комплексної площинi була стiйкою, необхiдно i достатньо, щоб годограф охоплював у додатному напрямку точку разiв при змiнi частоти у дiапазонi вiд

Рис. 2.136 Годограф Найквіста для стійких систем

Якщо розiмкнена система стiйка, то для того, щоб стiйкою була замкнена система необхiдно i достатньо, щоб годограф не охоплював точку (Рис. 2.136б).

2.6.12 Фiзична iнтерпретацiя критерiя Найквиста.

Хай (2.203). В тому випадку, коли годограф проходить через точку , то модуль дорiвнює одиницi, а фаза . Позначимо цю частоту як , тобто

Рис 2.137 До фізичної інтерпретації умов стійкості по критерію Найквіста

Це означає, що на цiй частотi вiд'ємний зворотний зв'язок перетворюється у додатнiй, та по контуру зворотного зв'язку та у замкненої системi циркулює сталий сигнал, тобто у системi iснують невгасаючі коливання, а сама система знаходиться на межi стiйкостi. Якщо при , то це свiдчить про те, що амплiтуда вихiдного сигналу менше одиницi, процес у замкненiй системi буде з кожним циклом згасати, тобто система буде стiйкою. Якщо , то процес буде розбiжним, а система вважається нестiйкою.

П 2.50

Визначити стійкість дискретної системи, яка у розімкнутому стані має у неперервної частини два правих кореня

Визначається передаточна функція умовно розімкнутої системи у Z-формі

Визначається передаточна функція замкнутої системи та розраховується перехідний процес

Визначається АФЧХ умовно розімкнутої системи підстановкою

Перехідний процес збігається, годограф Найквіста охоплює критичну точку y додатньому напрямку один раз. Отже, замкнута система стійка.

Содержание