2.4.2 Структурні перетворення нелінійних сау

При дослідженні нелінійних САУ структуру системи треба представити у вигляді алгоритмічної структурної схеми, яка виражає взаємозв'язок окремих елементів математичної моделі за допомогою діючих у ній сигналів.

Наявність нелінійних ланок не дозволяє здобути відразу єдине рівняння нелінійної системи. Тому що вихід нелінійності однозначно визначається через вхідний сигнал нелінійності, а останній визначається через характеристики лінійної частини системи, то при дослідженні нелінійних систем проектувальника у першу чергу цікавить характер процесів на вході та виході нелінійності. Тому, як правило, структурні перетворення виконуються з ціллю виділення нелінійного елементу та лінійної частини.

При визначенні еквівалентної приведеної лінійної частини можна користуватися всіма правилами перетворень структурних схем лінійних систем. Однак слідує пам’ятати, що у нелінійних системах не додержується принцип суперпозиції та спостерігається істотна залежність вихідного сигналу від амплітуди вхідного сигналу. Тому неможливо міняти місцями нелінійні елементи з лінійними ланками та точками підсумовування.

Таким чином, з’єднання вигляду

Рис.2.40 До питання структурних перетворень в нелінійних системах не є еквівалентними.

Розглянемо еквівалентні перетворення з метою виділення лінійної та нелінійної частин системи на прикладі.

Хай структурна схема нелінійної САУ представлена у вигляді

Рис. 2.41 Порядок структурних перетворень в нелінійної системі

Якщо у системі є декілька нелінійностей, які не розділені лінійними частинами, то необхідно виконати перетворення з'єднань нелінійностей в еквівалентну нелінійність .

Хай нелінійності F₁ та F₂ задано графічно у вигляді (рис.2.42) і треба визначити для з'єднань

Рис. 2.42 Еквівалентні перетворення нелінійностей

Відповідні перетворення нелінійностей представлені на (Рис.2.42)

Рис. 2.43 Послідовне а), паралельне б) та Замкнуте зєднання в) нелінійностей

2.4.3 Метод гармонічної лінеаризації

Точнi та статичнi методи дослiдження нелiнiйних САУ складнi, трудомісткі та мало ефективнi у застосуванні до систем високого порядку. Тому iстотно прагнення звести дослiджування загальної нелiнiйної задачі до лiнiйної iнтерпретацiї, яка дозволяє на пiдставi зв'язку часових та частотних характеристик вирiшувати багато яких задач дослiдження подібних систем.

Якщо нелiнiйний перетворюючий елемент системи буде збуджуватися гармонічним вхiдним сигналом, то на його виходi буде спостерiгатися перiодичний сигнал вiдповiдної форми, який буде крiм основної частоти вхiдного сигналу мати i вищi гармонiки (Рис.2.44).

Рис.2.44 Перетворення гармонічного сигналу нелінійною ланкою

Вiдомо, що будь-який гармонiчний сигнал можна розкласти у ряд Фур’є

, (2.100)

де ,

, . (2.101)

Рис. 2.45 Послідовне з’єднання нелінійної то лінійної ланок

Якщо вихiдний сигнал нелінійного елемента впливає на лiнiйну частину системи яка послiдовно з'єднана з нелiнiйною частиною (Рис.2.45), то вiдповiдно з комплексним коефiцiєнтом передачi останньої, тобто у силу вiдповiдних частотних властивостей лiнiйної частини, вона буде по рiзному реагувати на частотнi складовi сигналу

. У випадках, коли передаточна функція лiнiйної частини має степiнь чисельника В_m(S) менше нiж степiнь знаменника А_n(S) (а це завжди виконується для реально можливих систем), то амплiтудно-частотна характеристика W_лч(j) при буде наближатися до нуля, тобто лiнiйна частина має властивостi фiльтра, який не пропускає на вихiд системи сигнали вищих частот.

Отже, якщо припустити, що на виходi нелiнiйного елементу F(х) утворюється перiодичний сигнал

та урахувати фiльтруючи властивостi лiнiйної частини, то на виходi лiнiйної частини з'являється перiодичний сигнал з явно вираженою першою гармонiкою (Рис. 4.19 ).

(2.102)

Очевидно, що у випадку непарно-симетричних нелiнiйностей та при вiдсутностi сталої складової на входi нелiнiйностi у вихiдному сигналi лiнiйної частини також буде вiдсутня стала складова y₀, тобто

.

Таким чином, при розгляданнi замкненої системи можна стверджувати, що сигнал похибки також буде приблизно гармонічним .

Рис. 2.46 До поняття гармонічної лінеаризації

При розгляданнi замкненої системи можна стверджувати, що сигнал похибки також буде приблизно гармонічним .

Хай сигнал на входi нелiнiйностi змiнюється по гармонiчному закону x(t) = A sin ₀t

з вiдповiдною швидкістю i у силу властивостей фiльтру лiнiйної частини, будемо розглядати проходження тiльки основної, першої складової вихiдного сигналу нелiнiйного елементу або при .

Запишемо коефiцiєнти розкладу та вiдносно амплiтуди вхiдного сигналу А, тобто

Таким чином, перетворюючи властивостi нелiнiйного елементу будуть вираженi через вiдношення амплiтуд вихiдного сигналу до амплiтуди вхiдного

(2.103)

де

(2.104)

Наведенi перетворюючи властивостi нелiнiйного елементу у такому виглядi називаються гармонiчною лінеаризацією нелiнiйностi, а величини q(А) та b(А) є коефiцiєнтами гармонiчної лінеаризації.

При цьому еквівалентна передаточна функцiя гармонiчно-лiнеаризованої нелiнiйної ланки можна представити у виглядi

(2.105)

що дає можливiсть при замiнi s=j перейти до поняття амплітудно-фазових характеристик нелiнiйної ланки та приведеного коефiцiєнту передачі

(2.106)

для якого справедливi вiдомi спiввiдношення

Отже, цi формули показують явну залежнiсть приведеного коефiцiєнту передачi нелiнiйностi вiд амплiтуди вхiдного сигналу А (Рис.2.47).

Рис.2.47 Залежнiсть приведеного коефiцiєнту передачi нелiнiйностi

вiд амплiтуди вхiдного сигналу

Рис. 2.48 Вплив неоднозначної не лінійності на фазовий зсув

Аналiз графiкiв (Рис.2.48) показує, що для динамiчних нелiнiйностей коефiцiєнти q(А) та b(А), а отже, i характеристика W(jА) буде залежати не тiльки вiд амплiтуди, але i вiд частоти, що проявляється через зсув фази вихiдного сигналу.

Якщо у системi будуть спостерiгатися несиметричнi коливання, то у сигналi на входi нелiнiйностi з'явиться стала складова (Рис.2.49). При цьому

Незалежно вiд того, якими причинами це викликано i дiєю додаткового зовнiшнього сталого впливу або несиметричністю статичної характеристики самого нелiнiйного елементу.

Рис.2.49 Несиметричні коливання

(2.107)

де

(2.108)

Тому що вхiдна величина нелiнiйного елементу складається iз адитивної суми сталої та гармонiчної складових, але принцип суперпозиції для нелiнiйного елементу не виконується, то складовi вихiдного сигналу будуть одночасно залежати вiд вiдповiдних складових входу одночасно.

Визначення коефіцієнтів еквівалентної передаточної функції нелінійного елементу.

Розглянемо релейну характеристику з петлею гістерезису (Рис.2.50).

Рис. 2.50 До визначення кефіцієнтів гармонічної лінеаризації

Тому що характеристика нелiнiйного елемента є симетричною, то коефiцiєнт сталої складової буде дорiвнювати нулю, тобто

Для обчислення коефiцiєнтiв гармонiчної лінеаризації q(А) та в(А) можна iнтеграл вигляду визначити по окремим iнтервалам iнтегрування

При цьому

Тому що реле переключається у моменти коли , то величина визначається виразом .

Тому можна записати

Вiдповiдно обчислюється i коефiцiєнт в(А)

Графiчна залежнiсть коефiцiєнтiв вiд амплiтуди А вхiдного сигналу приведено на

(Рис.2.51).

Рис. 2.51 Графiчна залежнiсть коефiцiєнтiв вiд амплiтуди

Значення коефiцiєнтiв гармонiчної лінеаризації для найбiльш часто зустрічаючихся нелiнiйностей можуть бути обчисленi заздалегiдь та зведенi у таблицi (3).

Таблиця 2.3

Коефiцiєнти гармонiчної лінеаризації нелiнiйностей.