3.5.1 Синтез лінійних стаціонарних операторів

Загальна постановка синтезу оптимальних операторів формулюється відносно розподілу випадкових процесів наступним чином (Рис.3.100)

Рис.3.100

Задано сумісний закон розподілу імовірностей F_xv(x,v) вхідних випадкових процесів x(t) та v(t), де x(t)- є доцільним сигналом, а v(t)- завадою. Відомий оператор A_ot, який повинен перетворювати процес x(t) у процес y₀(t) з бажаним законом розподілу F_y(y). Необхідно визначити оператор A_t, який перетворює суму сигналів u(t)=x(t)+v(t) у процес y^*(t), розподіл імовірностей F^*(y) якого був би найкращим чином з точки зору заданої міри близькості Q наближеним до бажаного розподілу F(y).

Таким чином, оператор A_t може бути знайдено розв`язуванням задачі

Але у такій загальній постановці задача синтезу розглядається рідко з урахуванням складності її розв`язання або практичної недоцільності.

Вибір критерію якості є достатньо важкою задачею із-за протиріччя вимог адекватності та конструювання до нього. Якщо y(t)- бажаний вихідний процес системи, а y*(t)- дійсний процес на її виході, то міра якості може бути сформульована на основі функції ризику або функції збитку l(y,y*).

Наприклад, l може бути дорівнювати тощо. Однак, при випадкових впливах l є випадковою функцією та не може бути безпосередньо застосована для оцінки якості. Для цих цілей може бути використано середнє значення R функції ризику

R = M [ l(y, y*) ],

яка зветься середнім безумовним ризиком. При різноманітних вхідних величинах x(t), R може приймати теж різноманітні значення. Тому є сенс розглядати більш адекватну міру у вигляді середнього ризику

R* = M [ l(y, y*) |_x=x ],

який дорівнює умовному математичному очікуванню R за умови, що x приймає вигляд x(t), наприклад, за умови, що x(t) має лінійно збільшуване математичне очікування M_x.

Існують також інші підходи вибору Q[ ]. Відомо, що доцільно вибирати міру якості у квадратичних формах, які мають екстремальні значеннями, за якими точки екстремуму вказують на оптимальність якості системи. Такі критерії спрощують задачу оцінки якості системи та розв`язання задачі синтезу.

(3.56)

В цьому випадку доцільною стає така постановка задачі синтезу оптимальних операторів.

Отже, загальну постановку задачі аналiзу якостi системи з точки зору критерiю СКО можна сформулювати таким чином .

Рис.3.101

На вхiд САУ, яка описується вiдомим оператором А_t поступають стацiонарний корисний сигнал х(t) та завада v(t) з вiдомими статистичними характеристиками. Вiдомо також перетворення А₀, яке необхiдно виконати над корисним сигналом, щоб здобути бажаний процес y(t) на виходi САУ. Необхiдно визначити СКО та її залежнiсть вiд змiни параметрiв системи та вхiдних величин х та v.

Хай на систему W_з(p) дiє адаптивна сумiш х(t)=g(t)+n(t), з вiдомими

cтатистичними характеристиками, а сама система повинна вiдтворювати деяку функцiю вiд корисного сигналу g(t)

y*(t)=A(p)g(t),

де А(р) - оператор iдеального перетворення.

Тому що похибка вiд дiї суміші х(t) визначається як то загальна задача визначення довiльної структури системи складається з того, щоб при вiдомих статистичних характеристиках корисного сигналу та завади знайти таку фiзично реалiзуєму оптимальну передаточну функцiю замкненої системи W_з opt(s), при якої середнє значення квадрата сумарної похибки було б мiнiмальним

Визначимо спектральну щільність похибки

Тодi

Мiнiмiзувати цей вираз можна за допомогою вибору оптимальної фiзично реалiзуємою передаточною функцiєю W_з(j).

Представимо А(j) та W_з(j) у виглядi

Тодi при

буде виконуватися спiввiдношення

яке буде приймати мiнiмальне значення за умови, при яких вираз

буде приймати максимальне значення, а це буде виконуватися якщо виконується умова

тобто

Тодi iз виразу

за допомогою

можна визначити оптимальну передаточну функцію

[ 2W() - 2A() ]S_g() + 2W()S_v() = 0

(3.57)

Але така оптимальна передаточна функцiя не може бути фiзично реалiзуєма за умови

при

Тому з цього виразу треба вiдокремити тiльки частину, яка буде задовольняти умовам фіхичної реалізуємості. Для цього вираз знаменника треба представити у виглядi

(3.58)

який утримує коренi у верхній та нижній комплексної півплощині. Пiсля цього виконується операцiя розщеплення, тобто видiлення частини виразу яка має верхнi коренi та частину з нижнiми коренями .

Якщо шукати фiзично реалiзуєму систему, то для неї треба вирiшувати задачу за умови

при t>0, тобто треба розглядати тiльки частину з верхнiми коренями.