1.4.3 Випадкові сигнали та їх характеристики.

У попередніх розділах розглядалися системи автоматичного управління при цілком визначених детермінованих впливах, які можуть бути деякою заданою функцією часу. Але на діючи у системі впливи завжди накладаються випадкові збудження, які ніколи не можуть бути математично точно описані та наперед завбачені. Множину всіх корисних вхідних сигналів можна розглядати як множину можливих реалізацій деякої випадкової функції . Якщо спостерігати за множиною реалізацій випадкових сигналів з імовірної точки зору, можна визначити деякі сталі закономірності які характеризують ці сигнали, тобто визначити статистичні характеристики.

Характеристики систем теж не можливо вважати у точності визначеними. Вони підвладні випадковим змінам, наприклад, зміни напруги живлення, механічним вібраціям та іншим. Ці випадкові зміни повинні розглядатися при аналізі , як випадкові завади, які діють на систему. Отже, задача дослідження систем автоматичного керування складаються у визначенні їх статистичних характеристик, імовірнісних характеристик сигналів, які діють у системі.

Загальна задача дослідження САК при дії випадкових сигналів формулюється таким чином: на систему з відомим оператором діє вплив , який представляє собою випадкову функцію часу, статистичні характеристики якої відомі, а треба визначити статистичні характеристики вихідної змінної системи ( Рис.1.97).

Рис. 1.97 Процес перетоворення випадкового сигналу неперервним оператором

Для визначення оптимальних параметрів настройки керуючих пристроїв та регуляторів необхідні відомості про статичні та динамічні характеристики об'єктів керування та діючих збуджуючих пристроїв. Ці характеристики можуть бути здобуті або у результаті розрахунків та математичного моделювання, або експериментально. Статистичні характеристики діючих у САУ впливів як правило можуть бути здобуті тільки у результаті експерименту. Вибір методу експериментального дослідження об’єкту, який знаходиться у режимі нормального експлуатування, визначається поставленою задачею, допустимими по технологічним вимогам відхиленням досліджуємих величин, характером експлуатаційних, керуючих та збуджуючих впливів. Здобути ці характеристики можливо шляхом активного або пасивного експерименту.

Метод пасивного експерименту засновано на реєстрації контрольованих параметрів процесу у режимі нормальної експлуатації об'єкта без внесення у нього будь-яких вимушених збуджень.

Метод активного експерименту засновано на використанні певних штучних збуджень, які вводяться у об'єкт завчасно спланованої програми. Це дозволяє цілеспрямовано та достатньо швидко визначити характеристики об'єкту або сигналів. Але тому що об'єкти управління, які працюють у режимі нормального функціонування, знаходяться під впливом діючих шумів та збуджень, штучні (пошукові) збудження повинні бути значними, що може викликати небажані наслідки, які зв'язані з порушенням технологічного режиму, що є неприпустимим.

Обсяг експериментальних досліджень істотно залежить від цілі дослідження.

Усякий факт, який у результаті іспиту може статися або не статися, називається випадковою подією, яка характеризується деяким числом - імовірністю , тобто чисельною мірою степеню об'єктивності можливості цієї події . При повній достовірності події . Якщо подія не відбувається, тобто вона неможлива, то . Отже, імовірність будь-якої події . Якщо із числа опитів , стає достовірними, то . Якщо у результаті опитів з'являється одне й теж число із множини можливих значень, то вводиться поняття випадкової величини. При цьому у якості її характеристики приймається ймовірність її появлення. Так, якщо випадкова величина неперервна на інтервалі , то для завдання її імовірнісної характеристики приймається функція розподілу , яка характеризує ймовірність випадкової події

(1.99)

Із цього слідує, що

(1.100)

тобто диференційний закон розподілу, або щільність ймовірності.

Якщо випадкова величина або випадковий вектор , де ( ) деякі випадкові величини, які розглядаються у якості компоненти вектору , змінюються у залежності від одного або декількох параметрів , тобто мають місце функції та або та , то такі функції називаються випадковими:

- одномірні, якщо маємо ;

- випадковими полями, якщо маємо

- векторними випадковими функціями ;

- векторними випадковими полями .

Якщо параметр має смисл часу, то функція називається випадковим процесом.

Рис. 1.98 Приклад реалізацій випадкового процесу

Окремі спостереження за випадковими процесами, які протікають за незмінними умовами, дають кожний раз нові функції , тобто реалізації випадкового процесу відрізняються одна від одної (Рис.1.98)

Функцію називають реалізацією випадкового процесу при -ому експерименті. Вона вже не є випадковою, тому що закон її визначений. Випадковість процесу виявляється у тому, що вигляд функції випадковим чином змінюється від одного експерименту до другого, тобто випадкова функція є функцією двох змінних: часу та параметру , що нумерує всі можливі реалізації.

Якщо зафіксувати деякий момент часу , то функція представляє собою величину, яка випадковим чином змінюється при зміні номеру .

Розглянемо реалізацій випадкової функції Виділимо із їх числа , реалізації, які у момент часу були менше деякого рівня .Очевидно, що при великому відношення будуть наближатися до сталого числа, яке називається імовірністю того, що при випадкова функція знаходиться нижче рівня

Така функція називається одномірною функцією розподілу імовірностей випадкового процесу

Похідна по називається одномірною щільністю розподілу імовірностей випадкового процесу

( 1.101 )

Отже, імовірність того, що випадкова функція у моменти знаходиться у інтервалі між та , дорівнює .

Між функцією розподілу та щільністю імовірностей має місце такий зв'язок . Функції та є простішими характеристиками випадкового процесу.

Поряд з функціями розподілу широке використання мають характеристики, які називаються моментними функціями.

У багатьох практичних випадках можна використовувати такі характеристики, як математичне очікування, дисперсія, кореляційна функція, спектральна щільність.

Початковий момент -того порядку визначається по формулі

Початковий момент першого порядку називається математичним очікуванням випадкового процесу у момент

(1.102)

У загальному випадку математичне очікування випадкового процесу різне для різних моментів часу. Тому воно є функцією параметру .

Центральний момент -того порядку обчислюється по формулі

Центральний момент першого порядку завжди дорівнює нулю, тому що

Центральний момент другого порядку називається дисперсією випадкової величини та є мірою розсіювання випадкової величини навколо її середнього значення

(1.103)

Величину називають середнім квадратичним відхиленням випадкової величини від середнього значення.

Отже,

(1.104)

Cередньоквадратичне відхилення при дорівнює середньоквадратичному значенню, яке у загальному випадку визначається як

Рис. 1.99 До закону нормального розподілу

Найбільш поширеним розподілом, для випадкових величин є нормальне, для якого

(1.105)

Щільність розподілу імовірностей для різних має один максимум

при .

На відстані від щільність розподілу імовірностей дорівнює всього 0.004, а площина під кривою у смузі складає 0.997 всієї площини під кривою щільності розподілу імовірностей.

Таким чином, з імовірністю 0.997 можна вважати, що будь-яка величина , яка розподіляється за гаусовським законом та має нормальну щільність розподілу, знаходиться у межах між Чим менше параметр , тим більш максимальна щільність розподілу імовірностей, гостріше графік, тобто зменшення дисперсії знижує ймовірність великих відхилень випадкової величини від її середнього значення. Очевидно, що дисперсія сталої величини дорівнює нулю, а щільність розподілу має вигляд дельта-функції .

Існують два класи випадкових процесів: стаціонарні та нестаціонарні.

Випадковий процес називається стаціонарним, якщо щільність розподілу ймовірностей -того порядку не залежить від зсуву всіх точок спостереження вздовж осі часу на однакову величину .

Такий процес є аналогом сталого процесу.

Особливості стаціонарних випадкових процесів наступні:

- одномірна щільність розподілу ймовірностей не залежить від часу

- двомірна щільність розподілу ймовірностей залежить тільки від параметру

- математичне очікування випадкового процесу не залежить від часу і є сталою величиною

- дисперсія випадкового процесу також є величиною сталою

При визначенні чисельних характеристик випадкових процесів шляхом усереднення по множенні треба виконати важку роботу - записати та обробити велике число реалізацій.

Якщо стаціонарний випадковий процес дозволяє знаходити чисельні характеристики всього лише за однією реалізацією, тобто використовувати усереднення за ансамблем та воно еквівалентне усередненню по часу, то процес називається ерготичним.

Усереднення за часом можна виконати шляхом статистичної обробки всього однієї реалізації випадкового процесу. Якщо час вимірювання реалізації складає , то математичне очікування досліджуваного процесу визначається по формулі

(1.106)

Для визначення математичного очікування на безкрайньому інтервалі необхідний час спостереження теж спрямовується у безкрайність

Тому що у загальному випадку є випадковою величиною, яка залежить від часу, тобто, для нестаціонарних процесів; та спектральних властивостей процесу, то її математичне очікування та дисперсія визначається як усереднення по числу іспитів

(1.107)

При оцінці дисперсії випадкового процесу при нульових початкових умовах та вхідному впливі з нульовим математичним очікуванням можна використовувати співвідношення

або по відомій у математичній статистиці наближеній формулі для нормального закону розподілу

Рис. 1.100 Наближена формула визначення дисперсії випадкового процесу

У якості блока усереднення може використовуватися також аперіодична ланка з великою сталою часу ( Рис.1.101).

Рис. 1.101 Блока усереднення

Найбільш узагальненою статистичною характеристикою, яка утримує повну інформацію про степінь зміни випадкової функції у часі є кореляційна функція.

Математичне очікування та дисперсія не відображає зв'язки між значеннями випадкового процесу у різні моменти часу та .

Для того, щоб визначити середню величину добутку та треба користуватися двомірною моментною функцією

Якщо та незалежні, то . Отже, служить мірою статистичної залежності між випадковими величинами та .

Для центрованих випадкових процесів, тобто при нульових середніх значеннях випадкових величин двомірна моментна функція переходить у

(1.108)

Така функція називається кореляційною функцією випадкового процесу . Вона характеризує степінь статистичного зв'язку між наступним та попереднім значенням випадкової функції, тобто залежить від інтегралу часу .

Таким чином

(1.109)

де - інтервал часу спостереження.

Кореляційна функція визначає імовірність того, що випадкова функція , яка має у моменти значення буде у моменти мати значення , тобто характеризує зв'язок між та . При дуже малих  ймовірність того, що значення буде мало відрізнятися від значення , близька до одиниці .

Рис. 1.102 Реалізація випадкового процесу

Отже, при кореляційна функція має максимальне значення, а із збільшенням значення кореляційної функції буде зменшуватися . Якщо у випадковому процесі присутня стала складова, то при значення кореляційної функції буде теж сталим (Рис.1.103), а різниця між визначає середню потужність випадкового процесу.

Тому що кореляційна функція при дорівнює центральному моменту другого порядку, то дорівнює дисперсії

Рис. 1.103 Кореляційна функція з детермінованою складовою

При цьому середнє квадратичне значення дорівнює .

Кореляційна функція є парною функцією, тому що щільність розподілу ймовірностей для стаціонарних процесів не залежить від початку обліку часу, тобто

Кореляційна функція суми незалежних випадкових процесів дорівнює сумі кореляційних функцій складових.

Дійсно,

тому що

Для ерготичних процесів справедлива властивість дорівнювання середнього по часу середньому по множині, тобто математичному очікуванню Визначити кореляційну функцію можна по її реалізації

Рис. 1.104 До визначенню кореляційної функції

Для цього інтервал запису поділяється на рівних частин з кроком , тобто

Потім для різних значень знаходиться середнє значення добутку ординат

(1.110)

За цими значеннями будується графік кореляційної функції у залежності від інтервалу або .

П 1.19

Генерація білого шуму ( White Noise generation )

Програма побудови кореляційної функції

Кореляційна функція білого шуму

Для визначення кореляційної функції гармонічного сигналу достатньо запровадити спостереження на інтервалі одного періоду , тобто

Рис. 1.105 Кореляційна функція з гармонічною складовою

При – є середньою потужністю гармонічного сигналу.

Очевидно, що кореляційна функція гармонічного коливання є теж періодичною функцією з тим же періодом, що і сам сигнал.

Якщо для звичайної функції завади то для гармонічного сигналу цей lim не наближається до нуля. Ця властивість може використовуватися для визначення слабкого сигналу на фоні більш інтенсивної заводи, якщо відомі їх кореляційні функції та .

Процес , в якому відсутній взаємозв`язок між наступним та попередніми значеннями, називається абсолютно випадковим процесом, або білим шумом.

Очевидно, що для випадку білого шуму час кореляції становить ,а кореляційна функція має вигляд -функції.

Типовою для стаціонарних випадкових процесів при є кореляційна функція вигляду

(1.11)

Метод інтегралу Фур'є успішно застосовується при частотному аналізі регулярних сигналів. Але безпосереднє застосування його до випадкових сигналів утруднено, тому що окремі реалізації випадкових процесів можуть досягати нескінченних значень.

Розглянемо так звану енергетичну форму інтегралу Фур'є

Візьмемо квадрат модулю зображення Фур'є та проінтегруємо по всім частотам з діленням на .

(1.112)

Це співвідношення є формулою Релея, яка показує енергію розглядуваного сигналу.

Тому що енергія більшості процесів на нескінченному інтервалі наближається до нескінченності, то краще мати справу із середньою потужністю.

Позначимо (1.113) (1.114)

(1.115)

що виражає енергетичний спектр стаціонарного випадкового процесу, спектральну потужність випадкового процесу. Тому що , то

(1.116)

Можна переписати і зворотне зображення Фур'є

(1.117)

Тому що кореляційна функція-невипадкова характеристика випадкового процесу, то і енергетичний спектр також є невипадковою функцією. Спектральна потужність та кореляційна функція як пара перетворень Фур'є володіють всіма властивими цих перетворень.

Чим ширше енергетичний спектр тим вужча кореляційна функція .

Енергетичний спектр - функція парна

Середня потужність стаціонарного процесу дорівнює площині під кривою енергетичного спектру.

(1.118)

Якщо процес є білим шумом, то , і, отже, (Рис..1.108).

П 1.20

Генерація білого шуму ( White Noise generation )

Програма побудови кореляційної функції

Кореляційна функція

Програма побудови спектральної густини (щільності)

Спектральна густина білого шуму

Для ідеального білого шуму спектральна щильність визначається частотним спектром та при одиничної амплітуді (Рис.1.108)

Рис..1.108 Спектрална характеристика „білого шуму”

Для найбільш поширеного випадкового процесу, який має кореляційну функцію , спектральна щільність має вигляд

Рис. 1.109 Кореляційна та спектральна характеристики

Якщо у випадковому сигналі присутня гармонічна складова з частотою , то спектральна щільність має вигляд.

Рис. 1.110 Спектральна щильність адитивної суміши випадкового процесу

та гармонічної складової

Формування Сигналу типу „білий шум”

П 1.21 Спрощена схема

Визначення математичного чекання та дисперсії

П1.22

Друга схема реалізації по математичному очікуванню та дисперсії

Точність розрахунку залежить від кількості точок ю Так при

П 1.23

Генерація білого шуму

П 1.24

Білий шум з детермінованим сигналом

Кореляційна функція

П 1.25

Типові статистичні характеристики